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有界函数一定可积吗

发布者:张阳
导读有界函数不一定可积。设f(x)在区间(a,b)上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在(a,b)上可积。所以有界不一定可积。例如狄利克雷函数f(x)=1(x是有理数的时

有界函数不一定可积。设f(x)在区间(a,b)上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在(a,b)上可积。所以有界不一定可积。例如狄利克雷函数f(x)=1(x是有理数的时候),而f(x)=0(x是无理数的时候),所以f(x)是有界的。但f(x)在任意区间内有无数个间断点,所以这个函数在任意区间内不可积。

如果一个函数的积分存在,并且有限,就说这个函数是可积的。一般来说,被积函数不一定只有一个变量,积分域也可以是不同维度的空间,甚至是没有直观几何意义的抽象空间。对于只有一个变量x的实值函数f,f在闭区间[a,b]上的积分记作。