在一个是数域中如果其中的数做加减乘除(除数不为0)运算，结果还在这个数域中，则说这个数域是封闭的。

现在证明有理数域封闭：

设任意两个有理数a、b，则必然有a=p/q、b=m/n，因为有理数都可以由分数表示：

而a+b=(pn+qm)/(qn)仍是有理数。

a*b=pm/qn仍是有理数。

减法和除法由于是加法和乘法的逆运算，所以显然成立。

故有理数域是封闭的。

假如有理数a(不为0)，乘无理数b得有理数c。

那么由于有理数域的封闭性知b=c/a必属于有理数域，矛盾产生，所以不可能得到有理数。